Sebuah isomorfisma dari grup ke grup adalah sebuah fungsi yang bersifat satu-satu pada dari  ke  dan untuk setiap  dan  di  berlaku

Grup  dan  kemudian dikatakan isomorf, dan diberi notasi

Teorema 8.1

Jika  suatu isomorfisma dari  ke , dan  adalah identitas dari  maka  identitas dari .  Dan juga

untuk semua

Dalam bahasa indonesia maksudnya adalah suatu isomorfisma memetakan identitas ke identitas dan invers  ke inverse.

Bukti.

Misal , karena  pada maka terdapat  sehingga .  Kemudian

Dengan cara sama diperoleh

Jadi untuk semua  kita dapatkan

Sehingga  adalah identitas dari .

Selanjutnya untuk  kita dapatkan

Dengan cara sama diperoleh

Akibatnya .                QED

• LANGKAH-LANGKAH MENUNJUKAN SUATU FUNGSI ISOMORF

LANGKAH 1     Definisikan fungsi yang akan memberikan suatu isomorfisma dari ke .  Ini berarti kamu mesti mendeskripsikan (dengan cara tertentu) berupa apa  di  untuk semua  di .

LANGKAH 2     Tunjukkan satu-satu

LANGKAH 3     Tunjukkan pada

LANGKAH 4     Tunjukkan untuk semua .

Contoh 8.1

Tunjukkan bahwa  terhadap operasi penjumlahan isomorf terhadap  terhadap perkalian.

LANGKAH 1     Untuk , definisikan .  Ini merupakan pemetaan .

LANGKAH 2     Jika  akibatnya  sehingga .  Ini menunjukkan  pemetaan satu-satu.

LANGKAH 3     Jika  maka , kemudian.  Sehingga  bersifat pada.

LANGKAH 4     Untuk , kita punya .

Jadi telah kita buktikan bahwa  suatu isomorfisma.

Teorema 8.2

Sebarang grup siklik tak hingga isomorf dengan , grup bilangan bulat terhadap operasi jumlah.

Bukti.

Misalkan  mempunyai pembangun  dan kita gunakan notasi perkalian untuk operasinya.  Jadi

LANGKAH 1     Definisikan  dengan  untuk  semua .

LANGKAH 2     Jika , maka  dan akibatnya .  Jadi  satu-satu.

LANGKAH 3     Untuk sebarang , elemen  dipetakan oleh  menjadi .  Sehingga  bersifat pada

LANGKAH 4  Sekarang  (Catat bahwa operasi disini adalah operasi di grup  saja).  Kemudian kita hitung  (Catat bahwa ini adalah operasi di ).  Tapi , sehingga .                                                  QED

Jika  isomorf dengan  (dengan isomorfisma ) maka  juga isomorf dengan , dimana isomorfismanya adalah . Dan terakhir, jika  isomorf dengan  (dengan isomorfisma ) dan  isomorf dengan  (dengan isomorfisma ), dimana isomorfismanya adalah komposisi fungsi .  Kalian harusnya bisa melihat bahwa kita telah memiliki beberapa sifat isomorfisma yang menunjukkan bahwa isomorfisma adalah relasi ekivalen pada koleksi grup.

Contoh

1. Apakah  pemetaan dari  dimana adalah isomorfisma

Jawab

1. Didefinisikan  dengan
2. b. Satu-satu

Jika , maka dan sehingga x = y

1. c. Pada

Jika (kodomain) maka terdapat

Sehingga

1. d. Pengawetan

Adb:

Karna telah memenuhi ketiga sifat maka isomorf

1. Tunjukkan pemetaan  : didefinisikan  untuk  adalah satu-satu dan pada,berikan definisi untuk sebuah oprasi * pada   sehingga isomofisma

Adb:

m*n = mn-m-n+2

Terbukti

Jadi agar fungsi haruslah definisi yang digunakan ialah  m*n = mn-m-n+2

Grup  <G;#> adalah himpunan G yang dilengkapi dengan oprasi # sehingga sifat-sifat berikut terpenuhi :

1. Oprasi # assositif
2. Terdapat   sehingga (e adalah identitas)
3. Untuk setiap ()terdapat  sehingga

Teorema 1.1

Suatu subset dari grup G, namakan H, adalah suatu subgrup dari G jika dan hanya jika :

1. H tertutup terhadap oprasi G
2. Unsur identitas e dari G ada di H
3. Untuk semua  ada di H

Definisi (Grup Siklik)

Diketahui (G,#) merupakan grup. Jika terdapat sehingga sehingga G =< > maka G

disebut grup siklik.

Teorema 1.2

Misalkan G suatu grup, dan  maka

Adalah subgrup dari G, dan H adalah subgrup terkecil yang memuat .

Dengan kata lain, Grup Siklik adalah Subgrup yang unsur-unsurnya

merupakan unsur-unsur dari Grup itu sendiri. Suatu Grup Siklik bisa

beranggotakan terhingga banyaknya unsur, bisa juga beranggotakan tak

hingga unsur-unsur.

Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur terhingga

dinamakan Grup Siklik berhingga dan Grup Siklik yang beranggotakan

banyaknya unsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik tak hingga.

Definisi (Pembangun)

Diketahui (G,#) merupakan grup Elemen a disebut pembangun grup H dan dinotasikan  H = < >.

Contoh 1.1 :

Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .).

Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.

Penyelesaian :

Generator dari G = {-1, 1} adalah -1 dan 1

<-1>    = {(-1)n | n Z}

= {(-1)0, (-1)1, (-1)2, …}

= {-1, 1}

<1>      = {(1)n | n Z}

= {(1)0, (1)1, (1)2, …}

= {1}

-1 adalah pembangun suatu Grup Siklik, sehingga :

[-1] = {-1, 1}

1 adalah pembangun Subgrup Siklik, sehingga :

[1] = {1}.

Contoh 1.2 :

Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G,+).

Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.

Penyelesaian :

Generator dari G = {0, 1, 2, 3} adalah 0, 1, 2 dan 3

<0>      = {n(0) | n Z}

= {0}

<1>      = {n(1) | n Z}

= {0.1, 1.1, 2.1, 3.1, …}

= {0, 1, 2, 3}

<2>      = {n(2) | n Z}

= {0.2, 1.2, 2.2, 3.2, …}

= {0, 2}

<3>      = {n(3) | n Z}

= {0.3, 1.3, 2.3, 3.3, …}

= {0, 3, 2, 1}

1 dan 3 adalah pembangun suatu Grup Siklik, sehingga :

[1] = [3] = {0, 1, 2, 3}

0 dan 2 adalah pembangun Subgrup Siklik, sehingga :

[0] = {0}

[2] = {0, 2}

Definisi (Order)

Diketahui (G,# ) merupakan grup siklik. Jika elemen-elemen pada G berhingga, maka

order dari G adalah jumlah elemen pada G. Jika elemen-elemen pada G tidak berhingga,

maka order dari G adalah tidak berhingga. Order dari G dinotasikan dengan G .

Teorema 1.3

Setiap grup siklik merupakan grup komutatif.

Bukti

Misalkan G grup siklik, dan  pembangun G

Ambil sebarang  anggota G, maka terdapat bilangan bulat b dan c

sehingga  , maka

Jadi G grup komutatif.

Contoh 1.3

Dari contoh 1.2, tunjukan bahwa Grup Siklik tersebut merupakan Grup

Komutatif.

Penyelesaian :

Generator 1 dan 3 adalah membangun suatu Grup Siklik dari Grup

G = {0, 1, 2, 3} terhadap penjumlahan (G,+).

Misalkanl x, y G, sehingga x = na dan y = ma, untuk m, n Z.

Ambil n = 1 dan m = 2, dan pembangun a = 3

x + y    = na + ma

= (n + m)a

= 1.3 + 2.3

= (1 + 2).3

= 3.3 = 1

y + x    = ma + na

= (m + n)a

= 2.3 + 1.3

= (2 + 1).3

= 3.3 = 1

Jadi, Grup Siklik G = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif.

Lemma 1.1

Jika m adalah bilangan bulat positif dan n sebarang bilangan bulat, maka terdapat secara unik bilangan bulat q dan r sehingga

n = mq + r dan

Teorema 1.4

Subgrup pada suatu grup siklik merupakan grup siklik.

Bukti.

Misalkan G merupakan grup siklik yang dibangun oleh a dan H subgrup dari G.

Akan ditunjukkan bahwa H merupakan grup siklik.

Jika {e} = H, jelas bahwa <e>= H sehingga H merupakan grup siklik.

Jika {e} H maka terdapat x H , dengan , Karena H merupakan subgrup dari G, maka x G ¸ dan berakibat, untuk suatu .

Pilih  , sebagai bilangan yang terkecil sehingga

Akan ditunjukkan bahwa <

Ambil sebarang y H¸ dan karena H subgrup dari G, maka x G, dan berakibat  untuk suatu

Menurut lemma maka z = qm + r untuk

Karena  dan  ada di H dan G adalah grup, maka

Akibatnya

Tapi karna m adalah bilangan asli terkecil sehingg  dan  maka haruslah

r = 0 sehingga p = qm

Jadi karna untuk sebarang  berlaku , maka <> = H jadi H grup siklik

Akibat 1.1

Subgroup-subgrup dari Z terhadap operasi penjumlahan pasti berbentuk nZ untuk n bilangan bulat

Definisi

Misalkan n suatu bilangan bulat positif , h dan k adalah sebarang bilangan bulat. Bilangan bulat r sehingga

h + k = nq + r                         untuk

adalah jumlah modulo n dari h dan k.

Teorema 1.5

Misalkan G grup siklik dengan n anggota dan dibangun oleh a.misalkan  , dan misalkan  maka b membangun subgroup H dari G yang terdiri dari n/d anggota, dimana d adalah FPB dari n dan s.

Contoh 1.4

Temukan order dari semua subgroup dari

Jawab

Dari lemma 1,5 adalah pembangun

Subgroup dengan order 3, pembangunnya berbentuk h2 dengan relative prim 3

h=1,3 sehingga h2=2,4

Sehingga sekarang kita hanya perlu mencari  subgroup yang dibangun oleh 3

Sehingga order dari subgrup  :

Akibat 1.2

Jika a adalah pembangun dari grup siklik sehingga G yang berorder n, maka pembangun yang lain dari G adalah  dimana r dan n relative prim (FPB), yang mana berarti pembagi sekutu terbesar dari n dan r adalah 1

Contoh 1.6

Temukan semua subgrup dari

Jawab :

Dari akibat diperoleh 1,3,5,7 adalah pembangun dari

Karna 2 bukan pembangun dari  maka 2 kemungkinan merupakan subgrup dari

Subgrup dengan orde 4,pembangun yang berbentuk h2 dengan h relative prim 4

h=1,3 sehingga h2=2,6

Sehingga hanya perlu mncari subgrup yang dibangun oleh

Jadi subgrup dari adalah 2 dan 4

gdaydtewrgascfgsdhawuieyhuai

· Sumber kekuatan tenaga

Karna mudah dicerna,gula buah cepat diubah menjadi glukosa,diserap kedalam peredaran darah kemudian diubah menjadi sumber tenaga.Buah ne bagus untuk pembentukan tubuh ,kerja otot dan menghilangkan rAsa lelah.

· Untuk Ibu hamil

Pisang banyak disarankan untuk dikonsumsi ibu hamil karna mengandung asam polat yang mudah diserap oleh janin melalui rahim tapi sebaiknya tidak berlebihan karna satu buah pisang MENGng 85-100 kalori.

· Bagi penyakit usus dan perut

Pisang yang dicampur susu cair dapat dihidangkan sebagai obat dalam kasus penyakit usus karena dapat menetralkan lambung. Penelitian terakhir buah pisang juga dapat menyembuhkan penyakit diare dan gangguan pencernaan.

· Bagi penderita lever

Bagi penderita lever, mengkonsumsi pisang ditambah 1 sendok madu akan menambah nafsu makan dan membuat kuat.

· Untuk luka bakar

Daun pisang dapat digunakan untuk mengobati luka yang terbakardengan cara diolesi.Campurkan abu daun pisang dengan minyak kelapa,kemudian diolesi pada kulit yang terluka,campuran abu daun pisang dan minyak kelapa dapat mendinginkan kulit yang terbakar.

· Bagi penderita Diabetes

Masyarakat gorontalo kerap menjadikan daun pisang daerah setempat sebagai makanan tambahan bagi penderita diabetes.pisang yang biasa digunakan ialah pisang groho yang belum matang,kemudian dikukus dan dicampurkan dengan kelapa muda yang diparut.

· Mengatur berat tubuh

Pisang memiliki dua kegunaan untuk mengatur bobot tubuh,menurunkan atau menaikan berat badan.Bagi yang kepengen diet ,4 pisang dan 4 gelas susu dikonsusi 3 kali dalam seminggu dapat memberikan 1250 kalori,menu yang cukup untuk diet.

· Bagi penyakit kuning

Orang-orang cina menggunakan akar pisang sebagai obat untuk menyembuhkan penyakit kuning,sakit kepala dan campak.

· Kekurangan gizi

Penemuan terbaru dihasilkan yayasan pengetahuan internasional filifina,membuktikan bahwa campuran pisang dan buah kelapa dapat mengatasi kekurangan gizi.saat ini para peneliti sedang berusaha untuk membuat antigen untuk coating virus hepatitis B dari tanaman pisang.Jika penelitian ini berhasil maka diperoleh vaksin yang murah.

]]> http://linna08.wordpress.com/2009/04/01/pisang/feed/ 0 linna08 http://linna08.wordpress.com/2009/03/22/kehidupan-remaja-2/ http://linna08.wordpress.com/2009/03/22/kehidupan-remaja-2/#comments Sun, 22 Mar 2009 00:36:23 +0000 linna08 http://linna08.wordpress.com/?p=5 ]]> JANGAN SENTUH NARKOBA

Kita tentu sering mendengar bahwa di kalangan remaja/pelajar beredar Narkoba. Penyalahgunaan Narkoba di kalangan remaja/pelajar merupakan masalah yang kompleks. Kenapa? Oleh karena tidak saja menyangkut pada remaja atau pelajar itu sendiri, tetapi juga melibatkan banyak pihak baik keluarga, lingkungan tempat tinggal, lingkungan sekolah, teman sebaya, tenaga kesehatan, serta aparat hukum, baik sebagai faktor penyebab, pencetus ataupun yang menanggulangi.

Masa remaja adalah masa peralihan dari masa kanak-kanak menuju masa puber. Pada masa inilah umumnya dikenal sebagai masa “pancaroba” keadaan remaja penuh energi, serba ingin tahu, belum sepenuhnya memiliki pertimbangan yang matang, mudah terombang-ambing, mudah terpengaruh, nekat dan berani, emosi tinggi, selalu ingin coba dan tidak mau ketinggalan. Pada masa-masa inilah mereka merupakan kelompok yang paling rawan berkaitan dengan penyalahgunaan narkoba.

Pengetahuan mengenai bahaya narkoba ini hanyalah merupakan salah satu segi yang perlu disampaikan agar mereka sadar akan dampaknya terhadap kesehatannya bahkan ancaman terhadap kehidupannya. Kalau saja semua perilaku pada masa remaja tersebut terarah dengan baik pada hal-hal yang positif tentunya akan dihasilkan remaja/pelajar yang berprestasi sebagai tumpuan masa depan, tetapi sebaliknya akan menghasilkan perilaku negatif seperti kenakalan remaja, tindak kejahatan, rusaknya fisik dan mental yang sangat merugikan dirinya sendiri dan masyarakat sekitarnya.

NAPZA ialah singkatan dari Narkotika, Alkohol, Psikotropika, dan Zat Adiktif, bahasa “kerennya” adalah NARKOBA yang merupakan singkatan dari Narkotika dan Obat Berbahaya. Masyarakat sudah banyak mendengar suguhan kata-kata ini dan telah menjadi ancaman di depan mata.

Kata “Narkotika” sendiri berasal dari Bahasa Yunani “Narkoum” yang berarti membuat lumpuh atau membuat mati rasa. Namun perlu diketahui sebelumnya bahwa narkotika memiliki khasiat dan manfaat yang digunakan dalam kedokteran dalam penanganan kesehatan dan pengobatan, serta berguna bagi penelitian perkembangan ilmu pengetahuan farmasi / farmakologi. Ironisnya saat ini malah disalahgunakan oleh pihak tertentu yang menjadikan narkotika sebagai komoditas ilegal.

Narkoba menyerang dan merusak syaraf manusia ini mengakibatkan perasaan dan akal seseorang tidak berfungsi normal. Bila dua organ tersebut tidak berfungsi, sebenarnya manusia itu telah kehilangan kemanusiaannya. Pada awalnya Alkohol dan Rokok ialah pintu masuk seseorang terjerumus narkoba.

Sebagai manusia yang beragama islam memakai narkoba itu hukumnya haram, sejak Musyawarah Pimpinan Majelis Ulama Indonesia (MUI) 10 Pebruari 1978 telah menyampaikan fatwa yang ditandatangani oleh KH Syukri Ghazali (Ketua Komisi Fatwa MUI) dan H. Amirudin Siregar (Sekretaris Komisi Fatwa MUI). Islam memandang manusia sebagai makhluk yang terhormat, layak , dan mampu mengemban amanah setelah terlebih dahulu melalui seleksi diantara makhluk Tuhan lainnya, sebagaimana Allah berfirman dalam QS Al Ahzab ayat 72 :

“Sesungguhnya Kami telah mengemukakan amanat kepada langit dan bumi serta gunung-gunung, maka semuanya enggan memikul amanat itu dan mereka khawatir akan mengkhianatinya, dipikullah amanat itu oleh manusia. Sesungguhnya manusia itu amat zalim dan bodoh”.

Dalam Islam, narkotika ini sering di sebut juga “hasyisyi”. Dalam Kitab “Hisyayatul As Syariah” karangan Ibnu Tamiah di sebutkan bahwa:

“Hasyisyi itu hukumnya haram dan orang yang meminumnya dikenakan hukuman sebagai mana orang yang meminum khamr”

Dan ada salah satu Hadis Sholeh riwayat Bukhori Muslim yang Berbunyi:

“Tiap-tiap barang yang memabukkan haram”.

Dari beberapa Firman dan Hadis di atas kita harus lebih meyakini lagi bahwa NARKOBA itu hukumnya haram.

PENYEBAB PENYALAHGUNAAN NARKOBA:
Penyebabnya sangatlah kompleks akibat interaksi berbagai faktor :
1. Faktor individual :
Kebanyakan dimulai pada saat remaja, sebab pada remaja sedang mengalami perubahan biologi, psikologi maupun sosial yang pesat.
2. Faktor Lingkungan :
Faktor lingkungan meliputi faktor keluarga dan lingkungan pergaulan baik sekitar rumah, sekolah, teman sebaya, maupun masyarakat.
Lingkungan Keluarga :

a. Komunikasi orang tua dan anak kurang baik
b. Hubungan kurang harmonis
c. Orang tua yang bercerai
d. Orang tua terlampau sibuk, acuh
e. Orang tua otoriter
f. Kurangnya orang yang menjadi teladan dalam hidupnya
g. Kurangnya kehidupan beragama.

Lingkungan Sekolah :

a. Sekolah yang kurang disiplin
b. Sekolah terletak dekat tempat hiburan
c. Sekolah yang kurang memberi kesempatan pada siswa untuk mengembangkan diri
d. Adanya murid pengguna NARKOBA.

Lingkungan Masyrakat / Sosial :
a. Lemahnya penegak hukum
b. Situasi politik, sosial dan ekonomi yang kurang mendukung.

Faktor – faktor tersebut diatas memang tidak selalu membuat seseorang kelak menjadi penyalahguna NARKOBA. Ada Pepatah mengatakan “Mencegah lebih baik dari pada mengobati”, akan benar-benar terbukti dalam kasus narkoba. Mereka yang sudah terjerumus sampai menimbulkan ketergantungan akan sulit untuk di tangani dan sukar untuk di berikan pengarahan . Umumnya sukar untuk menghentikan pemakaian Narkoba.Ada Beberapa hal yang perlu kita lakukan demi menjaga seseorang agar tidak terjerumus kepada narkoba, diantaranya:

1. Pendidikan Agama Sejak Dini

Pendidikan Agama Islam sangat perlu dilaksanakan sejak dini. Bukan hanya itu, bahkan anak yang masih dalam kandungan Sang Ibupun usaha mendidik anak tersebut sudah harus dilaksanakan yaitu dengan jalan kedua orangtuanya selalu berakhlak dan berbudi baik, menyempurnakan ibadah, memperbanyak bersedekah, membaca Al Qur’an, berpuasa, dan berdoa kepada Allah dengan tulus agar anak yang akan lahir nanti dalam bentuk fisik yang sempurna dan merupakan anak yang berjiwa shaleh.

2.Pendidikan di Lingkungan Keluarga

Unit terkecil dari masyarakat adalah rumah tangga. Di sinilah tempat pertama bagi anak-anak memperoleh pendidikan perihal nilai-nilai sejak anak dilahirkan. Maka dengan demikian orang tua sangat berperan pertama kali dalam mendidik, mengajar, membimbing, membina, dan membentuk anak-anaknya dengan :

1. Memberikan kasih sayang, pengorbanan, perhatian, teladan yang baik, pengaruh yang luhur.

2. Menanamkan nilai-nilai agama (iman dan ibadah), akhlak budi pekerti, disiplin dan prinsip-prinsip luhur lainnya.

3. Melakukan kontrol, filter, pengendalian, dan koreksi seluruh sikap anak-anaknya secara bijaksana baik di rumah maupun di luar.

4. Memelihara kesejukan, ketentraman, kesegaran, keutuhan, dan keharmonisan rumah tangga sehingga anak-anak merasa tenang, nyaman, aman, damai, bahagia, dan betah tinggal di tengah-tengah pergaulan keluarga setiap hari.

3.Pendidikan Agama di Sekolah / Kampus

Sekolah maupun prguruan tinggi ialah tempat guru mengajar/mendidik dan murid belajar dan terdidik, sehingga terciptalah masyarakat pendidikan yang bertujuan menumbuhkan, mengembangkan, dan membentuk kepribadian, pengetahuan dan keterampilan anak didik yang kelak akan tumbuh menjadi manusia seutuhnya. Untuk itu, sekolah maupun perguruan tinggi harus berorientasi pada pembangunan dan kemajuan sehingga dapat mencetak sumber daya manusia yang beriman, berilmu, dan mempunyai keterampilan yang tinggi serta memiliki wawasan masa depan yang luas, berakhlak mulia, juga berbudi pekerti luhur.