Isomorfisma

Definisi

Sebuah isomorfisma dari grup ke grup adalah sebuah fungsi yang bersifat satu-satu pada dari  ke  dan untuk setiap  dan  di  berlaku

Grup  dan  kemudian dikatakan isomorf, dan diberi notasi

Teorema 8.1

Jika  suatu isomorfisma dari  ke , dan  adalah identitas dari  maka  identitas dari .  Dan juga

untuk semua

Dalam bahasa indonesia maksudnya adalah suatu isomorfisma memetakan identitas ke identitas dan invers  ke inverse.

Bukti.

Misal , karena  pada maka terdapat  sehingga .  Kemudian

Dengan cara sama diperoleh

Jadi untuk semua  kita dapatkan

Sehingga  adalah identitas dari .

Selanjutnya untuk  kita dapatkan

Dengan cara sama diperoleh

Akibatnya .                QED

• LANGKAH-LANGKAH MENUNJUKAN SUATU FUNGSI ISOMORF

LANGKAH 1     Definisikan fungsi yang akan memberikan suatu isomorfisma dari ke .  Ini berarti kamu mesti mendeskripsikan (dengan cara tertentu) berupa apa  di  untuk semua  di .

LANGKAH 2     Tunjukkan satu-satu

LANGKAH 3     Tunjukkan pada

LANGKAH 4     Tunjukkan untuk semua .

Contoh 8.1

Tunjukkan bahwa  terhadap operasi penjumlahan isomorf terhadap  terhadap perkalian.

LANGKAH 1     Untuk , definisikan .  Ini merupakan pemetaan .

LANGKAH 2     Jika  akibatnya  sehingga .  Ini menunjukkan  pemetaan satu-satu.

LANGKAH 3     Jika  maka , kemudian.  Sehingga  bersifat pada.

LANGKAH 4     Untuk , kita punya .

Jadi telah kita buktikan bahwa  suatu isomorfisma.

Teorema 8.2

Sebarang grup siklik tak hingga isomorf dengan , grup bilangan bulat terhadap operasi jumlah.

Bukti.

Misalkan  mempunyai pembangun  dan kita gunakan notasi perkalian untuk operasinya.  Jadi

LANGKAH 1     Definisikan  dengan  untuk  semua .

LANGKAH 2     Jika , maka  dan akibatnya .  Jadi  satu-satu.

LANGKAH 3     Untuk sebarang , elemen  dipetakan oleh  menjadi .  Sehingga  bersifat pada

LANGKAH 4  Sekarang  (Catat bahwa operasi disini adalah operasi di grup  saja).  Kemudian kita hitung  (Catat bahwa ini adalah operasi di ).  Tapi , sehingga .                                                  QED

Jika  isomorf dengan  (dengan isomorfisma ) maka  juga isomorf dengan , dimana isomorfismanya adalah . Dan terakhir, jika  isomorf dengan  (dengan isomorfisma ) dan  isomorf dengan  (dengan isomorfisma ), dimana isomorfismanya adalah komposisi fungsi .  Kalian harusnya bisa melihat bahwa kita telah memiliki beberapa sifat isomorfisma yang menunjukkan bahwa isomorfisma adalah relasi ekivalen pada koleksi grup.

Contoh

1. Apakah  pemetaan dari  dimana adalah isomorfisma

Jawab

1. Didefinisikan  dengan
2. b. Satu-satu

Jika , maka dan sehingga x = y

1. c. Pada

Jika (kodomain) maka terdapat

Sehingga

1. d. Pengawetan

Adb:

Karna telah memenuhi ketiga sifat maka isomorf

1. Tunjukkan pemetaan  : didefinisikan  untuk  adalah satu-satu dan pada,berikan definisi untuk sebuah oprasi * pada   sehingga isomofisma

Adb:

m*n = mn-m-n+2

Terbukti

Jadi agar fungsi haruslah definisi yang digunakan ialah  m*n = mn-m-n+2

Grup Siklik

Definisi (Grup)

Grup  <G;#> adalah himpunan G yang dilengkapi dengan oprasi # sehingga sifat-sifat berikut terpenuhi :

1. Oprasi # assositif
2. Terdapat   sehingga (e adalah identitas)
3. Untuk setiap ()terdapat  sehingga

Teorema 1.1

Suatu subset dari grup G, namakan H, adalah suatu subgrup dari G jika dan hanya jika :

1. H tertutup terhadap oprasi G
2. Unsur identitas e dari G ada di H
3. Untuk semua  ada di H

Definisi (Grup Siklik)

Diketahui (G,#) merupakan grup. Jika terdapat sehingga sehingga G =< > maka G

disebut grup siklik.

Teorema 1.2

Misalkan G suatu grup, dan  maka

Adalah subgrup dari G, dan H adalah subgrup terkecil yang memuat .

Dengan kata lain, Grup Siklik adalah Subgrup yang unsur-unsurnya

merupakan unsur-unsur dari Grup itu sendiri. Suatu Grup Siklik bisa

beranggotakan terhingga banyaknya unsur, bisa juga beranggotakan tak

hingga unsur-unsur.

Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur terhingga

dinamakan Grup Siklik berhingga dan Grup Siklik yang beranggotakan

banyaknya unsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik tak hingga.

Definisi (Pembangun)

Diketahui (G,#) merupakan grup Elemen a disebut pembangun grup H dan dinotasikan  H = < >.

Contoh 1.1 :

Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .).

Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.

Penyelesaian :

Generator dari G = {-1, 1} adalah -1 dan 1

<-1>    = {(-1)n | n Z}

= {(-1)0, (-1)1, (-1)2, …}

= {-1, 1}

<1>      = {(1)n | n Z}

= {(1)0, (1)1, (1)2, …}

= {1}

-1 adalah pembangun suatu Grup Siklik, sehingga :

[-1] = {-1, 1}

1 adalah pembangun Subgrup Siklik, sehingga :

[1] = {1}.

Contoh 1.2 :

Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G,+).

Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.

Penyelesaian :

Generator dari G = {0, 1, 2, 3} adalah 0, 1, 2 dan 3

<0>      = {n(0) | n Z}

= {0}

<1>      = {n(1) | n Z}

= {0.1, 1.1, 2.1, 3.1, …}

= {0, 1, 2, 3}

<2>      = {n(2) | n Z}

= {0.2, 1.2, 2.2, 3.2, …}

= {0, 2}

<3>      = {n(3) | n Z}

= {0.3, 1.3, 2.3, 3.3, …}

= {0, 3, 2, 1}

1 dan 3 adalah pembangun suatu Grup Siklik, sehingga :

[1] = [3] = {0, 1, 2, 3}

0 dan 2 adalah pembangun Subgrup Siklik, sehingga :

[0] = {0}

[2] = {0, 2}

Definisi (Order)

Diketahui (G,# ) merupakan grup siklik. Jika elemen-elemen pada G berhingga, maka

order dari G adalah jumlah elemen pada G. Jika elemen-elemen pada G tidak berhingga,

maka order dari G adalah tidak berhingga. Order dari G dinotasikan dengan G .

Teorema 1.3

Setiap grup siklik merupakan grup komutatif.

Bukti

Misalkan G grup siklik, dan  pembangun G

Ambil sebarang  anggota G, maka terdapat bilangan bulat b dan c

sehingga  , maka

Jadi G grup komutatif.

Contoh 1.3

Dari contoh 1.2, tunjukan bahwa Grup Siklik tersebut merupakan Grup

Komutatif.

Penyelesaian :

Generator 1 dan 3 adalah membangun suatu Grup Siklik dari Grup

G = {0, 1, 2, 3} terhadap penjumlahan (G,+).

Misalkanl x, y G, sehingga x = na dan y = ma, untuk m, n Z.

Ambil n = 1 dan m = 2, dan pembangun a = 3

x + y    = na + ma

= (n + m)a

= 1.3 + 2.3

= (1 + 2).3

= 3.3 = 1

y + x    = ma + na

= (m + n)a

= 2.3 + 1.3

= (2 + 1).3

= 3.3 = 1

Jadi, Grup Siklik G = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif.

Lemma 1.1

Jika m adalah bilangan bulat positif dan n sebarang bilangan bulat, maka terdapat secara unik bilangan bulat q dan r sehingga

n = mq + r dan

Teorema 1.4

Subgrup pada suatu grup siklik merupakan grup siklik.

Bukti.

Misalkan G merupakan grup siklik yang dibangun oleh a dan H subgrup dari G.

Akan ditunjukkan bahwa H merupakan grup siklik.

Jika {e} = H, jelas bahwa <e>= H sehingga H merupakan grup siklik.

Jika {e} H maka terdapat x H , dengan , Karena H merupakan subgrup dari G, maka x G ¸ dan berakibat, untuk suatu .

Pilih  , sebagai bilangan yang terkecil sehingga

Akan ditunjukkan bahwa <

Ambil sebarang y H¸ dan karena H subgrup dari G, maka x G, dan berakibat  untuk suatu

Menurut lemma maka z = qm + r untuk

Karena  dan  ada di H dan G adalah grup, maka

Akibatnya

Tapi karna m adalah bilangan asli terkecil sehingg  dan  maka haruslah

r = 0 sehingga p = qm

Jadi karna untuk sebarang  berlaku , maka <> = H jadi H grup siklik

Akibat 1.1

Subgroup-subgrup dari Z terhadap operasi penjumlahan pasti berbentuk nZ untuk n bilangan bulat

Definisi

Misalkan n suatu bilangan bulat positif , h dan k adalah sebarang bilangan bulat. Bilangan bulat r sehingga

h + k = nq + r                         untuk

adalah jumlah modulo n dari h dan k.

Teorema 1.5

Misalkan G grup siklik dengan n anggota dan dibangun oleh a.misalkan  , dan misalkan  maka b membangun subgroup H dari G yang terdiri dari n/d anggota, dimana d adalah FPB dari n dan s.

Contoh 1.4

Temukan order dari semua subgroup dari

Jawab

Dari lemma 1,5 adalah pembangun

Subgroup dengan order 3, pembangunnya berbentuk h2 dengan relative prim 3

h=1,3 sehingga h2=2,4

Sehingga sekarang kita hanya perlu mencari  subgroup yang dibangun oleh 3

Sehingga order dari subgrup  :

Akibat 1.2

Jika a adalah pembangun dari grup siklik sehingga G yang berorder n, maka pembangun yang lain dari G adalah  dimana r dan n relative prim (FPB), yang mana berarti pembagi sekutu terbesar dari n dan r adalah 1

Contoh 1.6

Temukan semua subgrup dari

Jawab :

Dari akibat diperoleh 1,3,5,7 adalah pembangun dari

Karna 2 bukan pembangun dari  maka 2 kemungkinan merupakan subgrup dari

Subgrup dengan orde 4,pembangun yang berbentuk h2 dengan h relative prim 4

h=1,3 sehingga h2=2,6

Sehingga hanya perlu mncari subgrup yang dibangun oleh

Jadi subgrup dari adalah 2 dan 4

rini

rini jelekkkkkkkkkkkkkkkk……

gdaydtewrgascfgsdhawuieyhuai

TURUNAN TRIGONOMETRI

BANANAS

Pisang buah tropis kaya manfaat

· Sumber kekuatan tenaga

Karna mudah dicerna,gula buah cepat diubah menjadi glukosa,diserap kedalam peredaran darah kemudian diubah menjadi sumber tenaga.Buah ne bagus untuk pembentukan tubuh ,kerja otot dan menghilangkan rAsa lelah.

· Untuk Ibu hamil

Pisang banyak disarankan untuk dikonsumsi ibu hamil karna mengandung asam polat yang mudah diserap oleh janin melalui rahim tapi sebaiknya tidak berlebihan karna satu buah pisang MENGng 85-100 kalori.

· Bagi penyakit usus dan perut

Pisang yang dicampur susu cair dapat dihidangkan sebagai obat dalam kasus penyakit usus karena dapat menetralkan lambung. Penelitian terakhir buah pisang juga dapat menyembuhkan penyakit diare dan gangguan pencernaan.

KEHIDUPAN REMAJA

JANGAN SENTUH NARKOBA

Kita tentu sering mendengar bahwa di kalangan remaja/pelajar beredar Narkoba. Penyalahgunaan Narkoba di kalangan remaja/pelajar merupakan masalah yang kompleks. Kenapa? Oleh karena tidak saja menyangkut pada remaja atau pelajar itu sendiri, tetapi juga melibatkan banyak pihak baik keluarga, lingkungan tempat tinggal, lingkungan sekolah, teman sebaya, tenaga kesehatan, serta aparat hukum, baik sebagai faktor penyebab, pencetus ataupun yang menanggulangi.

Masa remaja adalah masa peralihan dari masa kanak-kanak menuju masa puber. Pada masa inilah umumnya dikenal sebagai masa “pancaroba” keadaan remaja penuh energi, serba ingin tahu, belum sepenuhnya memiliki pertimbangan yang matang, mudah terombang-ambing, mudah terpengaruh, nekat dan berani, emosi tinggi, selalu ingin coba dan tidak mau ketinggalan. Pada masa-masa inilah mereka merupakan kelompok yang paling rawan berkaitan dengan penyalahgunaan narkoba.

Hello world!

Welcome to WordPress.com. This is your first post. Edit or delete it and start blogging!