Definisi
Sebuah isomorfisma dari grup ke grup adalah sebuah fungsi yang bersifat satu-satu pada dari ke dan untuk setiap dan di berlaku
Grup dan kemudian dikatakan isomorf, dan diberi notasi
Teorema 8.1
Jika suatu isomorfisma dari ke , dan adalah identitas dari maka identitas dari . Dan juga
untuk semua
Dalam bahasa indonesia maksudnya adalah suatu isomorfisma memetakan identitas ke identitas dan invers ke inverse.
Bukti.
Misal , karena pada maka terdapat sehingga . Kemudian
Dengan cara sama diperoleh
Jadi untuk semua kita dapatkan
Sehingga adalah identitas dari .
Selanjutnya untuk kita dapatkan
Dengan cara sama diperoleh
Akibatnya . QED
- LANGKAH-LANGKAH MENUNJUKAN SUATU FUNGSI ISOMORF
LANGKAH 1 Definisikan fungsi yang akan memberikan suatu isomorfisma dari ke . Ini berarti kamu mesti mendeskripsikan (dengan cara tertentu) berupa apa di untuk semua di .
LANGKAH 2 Tunjukkan satu-satu
LANGKAH 3 Tunjukkan pada
LANGKAH 4 Tunjukkan untuk semua .
Contoh 8.1
Tunjukkan bahwa terhadap operasi penjumlahan isomorf terhadap terhadap perkalian.
LANGKAH 1 Untuk , definisikan . Ini merupakan pemetaan .
LANGKAH 2 Jika akibatnya sehingga . Ini menunjukkan pemetaan satu-satu.
LANGKAH 3 Jika maka , kemudian. Sehingga bersifat pada.
LANGKAH 4 Untuk , kita punya .
Jadi telah kita buktikan bahwa suatu isomorfisma.
Teorema 8.2
Sebarang grup siklik tak hingga isomorf dengan , grup bilangan bulat terhadap operasi jumlah.
Bukti.
Misalkan mempunyai pembangun dan kita gunakan notasi perkalian untuk operasinya. Jadi
LANGKAH 1 Definisikan dengan untuk semua .
LANGKAH 2 Jika , maka dan akibatnya . Jadi satu-satu.
LANGKAH 3 Untuk sebarang , elemen dipetakan oleh menjadi . Sehingga bersifat pada
LANGKAH 4 Sekarang (Catat bahwa operasi disini adalah operasi di grup saja). Kemudian kita hitung (Catat bahwa ini adalah operasi di ). Tapi , sehingga . QED
Jika isomorf dengan (dengan isomorfisma ) maka juga isomorf dengan , dimana isomorfismanya adalah . Dan terakhir, jika isomorf dengan (dengan isomorfisma ) dan isomorf dengan (dengan isomorfisma ), dimana isomorfismanya adalah komposisi fungsi . Kalian harusnya bisa melihat bahwa kita telah memiliki beberapa sifat isomorfisma yang menunjukkan bahwa isomorfisma adalah relasi ekivalen pada koleksi grup.
Contoh
- Apakah pemetaan dari dimana adalah isomorfisma
Jawab
- Didefinisikan dengan
- b. Satu-satu
Jika , maka dan sehingga x = y
- c. Pada
Jika (kodomain) maka terdapat
Sehingga
- d. Pengawetan
Adb:
Karna telah memenuhi ketiga sifat maka isomorf
- Tunjukkan pemetaan : didefinisikan untuk adalah satu-satu dan pada,berikan definisi untuk sebuah oprasi * pada sehingga isomofisma
Adb:
m*n = mn-m-n+2
Terbukti
Jadi agar fungsi haruslah definisi yang digunakan ialah m*n = mn-m-n+2
Filed under: Uncategorized | Leave a comment »